Γραμμικοί Μετασχηματισμοί και 3D Γραφικά

Abstract

Θα περίμενε κανείς πως η ιδέα της μοντελοποίησης ενός τρισδιάστατου αντικει μένου θα πρέπει να εμφανίστηκε μετά τη δημιουργία του υπολογιστή ή, στην καλύτερη περίπτωση, τον ίδιο καιρό με αυτήν. Πράγματι, στην καθημερινή μας ζωή ερχόμαστε συνεχώς σε επαφή με τρισδιάστατα μοντέλα τα οποία δημιουρ γούνται με υπολογιστικές μεθόδους: βιομηχανικός σχεδιασμός, ιατρικές μέθοδοι απεικόνισης, αρχιτεκτονικές, γεωγραφικές και τεχνικές μελέτες, μηχανική σχεδία ση, παραγωγή videoclip, ταινίες animation, διεπαφές εφαρμογών και ιστοσελίδων, διαφημιστικές καμπάνιες και πολλοί άλλοι κλάδοι της παραγωγής χρησιμοποιούν σε κάποια έκταση αντικείμενα που προέκυψαν από μοντελοποίηση. Στη συντριπτι κή πλειοψηφία τους, αυτά τα αντικείμενα, με πολλά εκ των οποίων ερχόμαστε σε επαφή καθημερινά, έχουν προκύψει μέσω κάποιας υπολογιστικής εφαρμογής. Ε πομένως, φαίνεται να είναι απαραίτητη η ύπαρξη του υπολογιστή για τη δημιουργία της μοντελοποίησης. Στην πραγματικότητα, δεν είναι ακριβώς έτσι. Οι σπόροι των ιδεών πάνω στις οποίες εδράζεται κάθε τεχνική δημιουργίας τρισδιάστατων γραφικών είναι πανάρ χαιοι: στον πυρήνα της όλης διαδικασίας βρίσκονται μια σειρά από μαθηματικές ιδέες, οι οποίες χρονολογούνται αιώνες πριν από την εμφάνιση του υπολογιστή. Για να το αντιληφθούμε αυτό, θα πρέπει να εξετάσουμε λίγο πιο προσεκτικά το τι ακριβώς σημαίνει μοντελοποίηση. Ο όρος έχει τις ρίζες του στη λατινική λέξη modulus, που σημαίνει μέτρο. Και, τελικά, αυτό ακριβώς είναι: η επινόηση και δημιουργία ένος ῾῾μέτρου᾿᾿ κάποιου άλλου πράγματος. ΄Ενα μοντέλο μπορεί να είναι φυσικό: για παράδειγμα, η Ιταλίδα ευγενής Λίζα Γκεραρντίνι, σύμφωνα με την επικρατέστερη εκδοχή, πόζαρε για να ζωγραφίσει ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι τη Μόνα Λίζα. Δηλαδή, η Λίζα Γκεραρντίνι ήταν η φυσική ῾ἑκδοχή᾿᾿ της Μόνα Λίζα. Παρομοίως, όταν μια κατασκευαστική εταιρία φτιάχνει μια μινιατούρα με σκοπό να αναπαραστήσει ένα πραγματικό αεροπλάνο, στην ουσία κατασκευάζει μια αναπαράσταση ή ένα ῾῾μέτρο᾿᾿ ενός άλλου αντικειμένου, δηλαδή μοντελοποιεί. Πέραν των φυσικών μοντέλων υπάρχουν και τα αντιληπτικά: σε αυτά δεν έχουμε φυσική απεικόνιση, αλλά, αντίθετα, επιστρατεύονται θεωρητικά εργαλεία προκει μένου να αναπαρασταθεί κάτι. ΄Οταν κάποιος χρησιμοποιεί μια σειρά από εξισώσεις για να περιγράψει την τροχιά ενός ουράνιου σώματος κάνει ακριβώς αυτό: επιστρα τεύει μαθηματικά κατασκευάσματα -τα οποία είναι νοητά- και φυσικούς νόμους -οι οποίοι είναι εκφράσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά μιας ευρείας κατηγορίας συστημάτων- προκειμένου να αναπαραστήσει την πραγματικότητα. ΄Ενα οικονομι 5 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ κό μοντέλο είναι μια θεωρητική κατασκευή που στοχεύει στο να αναπαραστήσει πραγματικές οικονομικές διαδικασίες. ΄Οταν μια εικόνα δημιουργείται με υπολογι στή, το λεγόμενο CGI (Computer Generated Imagery), αυτό που γίνεται στην πραγματικότητα είναι ότι ένα πραγματικό αντικείμενο αναπαρίσταται στις τρεις του διαστάσεις, σχεδιάζοντας τις επιφάνειές του. Η αναπαράσταση αυτή, όμως, δια φέρει από την αναπαράσταση που θα έκανε ένας ζωγράφος στον καμβά ή ένας γλύπτης στον πηλό, διότι προκύπτει με χρήση αμιγώς μαθηματικών διαδικασιών. Στην εποχή μας τέτοιου είδους μοντέλα έχουν νευραλγικό ρόλο σε μια σειρά από επιστημονικούς, τεχνοκρατικούς και καλλιτεχνικούς κλάδους: στην ιατρική σχεδιάζονται μοντέλα ανθρωπίνων οργάνων για την καλύτερη κατανόηση της ανα τομίας -και όπως θα δούμε παρακάτω ακόμη και για μεταμοσχεύσεις-, στην αρχιτε κτονική και στη διακόσμηση χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση πραγματικών χώρων και την καλύτερη διαχείριση των παραμέτρων τους, στη μηχανική χρησιμο ποιούνται για το σχεδιασμό και τον έλεγχο πραγματικών συσκευών, εξαρτημάτων και οχημάτων, στα ηλεκτρονικά παιχνίδια απεικονίζουν χώρους και χαρακτήρες, ενώ στον κινηματογράφο έχουν δώσει ένα νέο, χρήσιμο εργαλείο στους δημιουρ γούς. Σε αυτή την εργασία θα επικεντρωθούμε σε τέτοια τρισδιάστατα μοντέλα και θα προσπαθήσουμε να περιγράψουμε σε αδρές γραμμές τις βάσεις των διαδικασιών δημιουργίας και διαχείρισής τους. Στο Πρώτο Κεφάλαιο θα δώσουμε κάποιες πολύ γενικές πληροφορίες, ώστε να αναδειχθούν οι βασικές διαδικασίες που υπεισέρχονται στην μοντελοποίηση, και στη συνέχεια μια συνοπτική παρουσίαση της εξέλιξης των ιδεών πίσω από αυτές τις διαδικασίες. Στη ραχοκοκαλιά αυτών των διαδικασιών βρίσκονται κάποιοι συ γκεκριμένοι μαθηματικοί κλάδοι, με κυρίαρχο εκείνον της γραμμικής άλγεβρας. Ε πομένως, στο δεύτερο Κεφάλαιο, θα παρουσιάσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες τις ιδέες του εν λόγω κλάδου που εμφανίζονται κατά την μοντελοποίηση. Τέλος, στο Τρίτο Κεφάλιο θα παρουσιάσουμε την εφαρμογή των μαθηματικών εργαλε ίων του Δεύτερου Κεφαλαίου σε πρακτικά προβλήματα που εμφανίζονται κατά τη δημιουργία ενός μοντέλου